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2018江西银行春季校园招聘备考:均值不等式

2018-02-09 15:30:01   中公金融人网   来源: 江西银行招聘网
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均值不等式是数量关系中一个非常好用的公式,特别是在解决极值问题时,直接利用均值不等的推论比其它方法要方便许多,下面来给大家介绍均值不等式在极值问题中的应用。希望大家认真学习,为事业单位考试做好充足的准备。

数量关系考试

 

解题过程中,我们更多应用的是均值不等式的推论,下面我们来看一下均值不等式的具体应用。

2、均值不等式的应用

(1)和一定,求积的最大值

例题:若两个自然数之和为10,求这两个自然数积的最大值?

解析:两个自然数和是10,情况数不是很多,我们可以依次写出来,分别是1+9=10、2+8=10、3+7=10、4+6=10、5+5=10,一共五种情况,这五种情况的乘积分别是1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24、5×5=25,不难发现两个数和为定值时,随着这两个数越来越接近,这两个数的乘积就越来越大,当这两个数相等时取到最大值,所以说对于此题,当这两个数均取5的时候,取到最大值25,即102/4,符合均值不等式的推论,以后可以直接应用。

例题:用60米长的铁板围成一个矩形鸡窝,问这个鸡窝的面积最大为多少平方米?

A.900 B.625 C.500 D.225

答案:D

解析:题干提供的信息为矩形的周长一定,求矩形的面积最大是多少,即为长和宽的和一定,求长乘以宽的最大值为多少,符合均值不等式的推论,直接应用。周长是60米,也就是说长加上宽为30米,则当长=宽=15米时,矩形的面积可以取到最大值,为302/4=225平方米,选择D。

(2)一元二次函数求极值

以前我们学过许多一元二次函数求极值的方法,有公式法、多因式分解法、求导法等等,但我们都清楚,这些方法相对来讲比较复杂,现在我们来用均值不等式来求一元二次函数的极值,大家对比一下,会简单很多。

例题:某旅行团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元。旅行社对超过30人的团队给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元。当旅行团的人数为多少时,旅行社可以获得最大营业额?

解析:分析题干,我们发现旅行社的营业额随着人数的增加和单价的变化而变化,因此我们可以设,超过30人的团队增加了x人,则每个人的单价就变成了(800-10x)元,因此总的营业额用f(x)表示为,f(x)=(30+x)(800-10x),也就是一元二次函数,求最大营业额,即求一元二次函数的最大值。对应均值不等式的推论我们发现求两个数乘积的最大值,要满足两个数的和为定值,但我们发现30+x+800-10x=830-9x,不为定值,我们想用均值不等式,把两个数的和变为定值即可,因此可以变为f(x)=10(30+x)(80-x),这样30+x+80-x=110,和为定值,因此当30+x=80-x时,可以取到最大值,此时x=25,人数为55人时旅行社可取到最大营业额。

例题:将进货单价为90元的某商品按100元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品如果每个涨价1元,其销售量就会减少10个,为了获得最大利润,售价应定为( )元。

A.110 B.120 C.130 D.150

答案:B

解析:设商品每个涨价x元,每个利润为(10+x),则销售量为(500-10x)个,因此利润为f(x)=(10+x)(500-10x)=10(10+x)(50-x),则有10+x+50-x=60为定值,因此当10+x=50-x时,能取到最大利润,此时x=20,则售价为120元,选择B。

以上为均值不等式在极值问题中的应用,希望对大家有多帮助。

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